Обновить версию сервера с базой нельзя, потому что это общий сервер, где кроме вас другие клиенты.
Но решить проблему просто.
1) Создайте новую базу данных нужной вам версии.
2) В личном кабинете на странице "импорт-экспорт-перенос баз данных mySQL" сделайте экспорт старой базы, и импорт данных в новую базу.
3) Поменяйте в вашем сайте в конфиг файле параметры подключения, чтобы подключаться к новой базе.
